Qu'est-ce qu'une ondelette?

Malheureusement, il n'y a pas de réponse définitive à cette question. Tout en sachant que nous n'arriverons pas à satisfaire tout le monde, essayons tout de même. Il est à noter que cette définition est rarement utilisée parce que d'une part, on ne traite pas toujours avec des fonctions et d'autre part, on ne travaille pas toujours avec des espaces de Hilbert.

Condition 1. Une base d'ondelettes doit inclure des bases de Riesz pour une famille de sous-espaces de Hilbert $W_{j}$ d'un espace de Hilbert $H$, on note ces bases de Riesz (3.3) $\left( \psi _{j,i}\right) _{i}\in W_{j}$ et on doit pouvoir écrire $H=...\oplus W_{-1}\oplus W_{0}\oplus W_{1}\oplus ...$. Par la condition de Riesz, nous avons $A_{j}\sum _{i}\vert c_{i}\vert^{2}\leq \left\Vert \sum _{i}c_{i}\psi _{j,i}\right\Vert ^{2}\leq B_{j}\sum _{i}\vert c_{i}\vert^{2}$. On dira que la base est stable si $A_{j}$ et $B_{j}$ sont constants (indépendant de $j$).

Condition 2. Toutes les ondelettes doivent avoir une masse nulle $\int \psi _{j,i}(x)dx=0$ (voir 3.11).

Condition 3. Il doit y avoir une condition d'échelle, c'est à dire qu'il existe $b>1$ tel que $f\in W_{j}$ implique $f(b\cdot )\in W_{j-1}$. On choisit normalement $a=2$ (cas dyadique). En d'autres terms, dans le cas dyadique, on exige que si $f(x)\in W_{j}$ alors $f(2x)\in W_{j-1}$.

La condition 1 peut être réduite à exiger que les ondelettes forment un repère (3.5).