Qu'est-ce que le nombre de moments nuls et quel lien fait-on avec la régularité?

On dit qu'une ondelette a $N$ moments nuls si pour $i=0,...,N-1$, $\int x^{i}\psi _{j,i}(x)dx=0$. En particulier, toute ondelette se doit d'avoir au moins un moment nul.

Brièvement, on peut expliquer l'utilité pratique d'avoir un bon nombre de moments nuls, supposons qu'on prend la transformée par ondelettes de $f$ avec des ondelettes ayant un support compact et $N$ moments nuls, localement, nous supposons que $f$ a l'expansion de Taylor

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+f^{(N-1)}(a)(x-a)^{N-1}/(N-1)!+erreur(x)$$

Nous avons alors

$$\int f(x)\psi _{j,i}(x)dx=\int erreur(x)\psi _{j,i}(x)dx$$

où l'intégrale n'est prise que dans la voisinage de $f$ sujet à l'expansion de Taylor. On suppose ici implicitement que le support de l'ondelette est comprise dans ce voisinage, mais pour une fonction partout régulière, on peut faire l'expansion de Taylor pour n'importe quel $a$ et on peut donc centrer l'expansion dans le support de l'ondelette. Comme on peut le voir, un grand nombre de moments nuls nous permet d'affirmer que pour une fonction très régulière, les coefficients d'ondelettes seront petits. Ce détail est important pour les applications. Comme la fonction d'erreur prend localement la forme $f^{(N)}(\xi )(x-a)^{N}/N!$ (théorème de Taylor), on voit que plus les ondelettes auront un petit support, plus les coefficients d'ondelette seront petits. En prenant donc le ratio des coefficients d'ondelettes correspondant à des échelles différentes, on peut donc espérer mesurer la régularité de $f$.

En résumé, pour une fonction $f$ très régulière, les coefficients d'ondelette seront petits, et cela est d'autant plus vrai pour les ondelettes très localisées (échelles fines).