Qu'est-ce qu'une ondelette discrète?

La définition est la même que pour les fonctions exception faite de la propriété d'échelle. Prenons pour exemple $\mathbb{R}^{n}$, alors les ondelettes doivent être des vecteurs $\psi_{j,i}$ formant des bases de Riesz et ayant une masse nulle. Pour des raisons pratiques, on requiert que les ondelettes soient locales.

Condition 1. Une base d'ondelette doit inclure des bases de Riesz pour une famille de sous-espaces $W_{j}$ dans $\mathbb{R}^{n}$, on note ces bases de Riesz (3.3) $\left( \psi _{j,i}\right) _{i}\in W_{j}$ et on doit pouvoir écrire $\mathbb{R}^{n}=V_{0}\oplus W_{0}\oplus W_{1}\oplus...\oplus W_{K}$ où $K$ est le nombre de sous-espaces. Par la condition de Riesz, nous avons que $A_{j}\sum _{i}\vert c_{i}\vert^{2}\leq \left\Vert \sum _{i}c_{i}\psi _{j,i}\right\Vert ^{2}\leq B_{j}\sum _{i}\vert c_{i}\vert^{2}$. Le sous-espace restant $V_{0}$ ne peut pas être représenté en utilisant les vecteurs $\psi_{j,i}$ et est parfois appelé le sous-espace d'échelle.

Condition 2. Toutes les ondelettes doivent avoir une masse nulle $\left\langle \psi_{j,i},1\right\rangle =0$ .

Condition 3. Les ondelettes doivent être locales. Définissons la taille du support d'un vecteur $v$ comment étant le plus petit entier $N$ tel qu'il existe $K$ avec la propriété que $v_{K+k}=0$ ou est hors plage pour tous les $\vert k\vert>N$. Il doit exister $N$ et un entier $b>1$ telle que le taille du support de $\psi_{j,i}$ est plus petite ou égale à $b^{j}N$ et tel que $b^{K}N\leq n$.

On peut réduire le première condition en remplaçant « base de Riesz » par « repère » (3.5).